On donne :
avec \ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = 2 \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}
1. Etudier les variations de la fonction f définie ainsi, puis tracer son graphique.
f(x)=\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}.2. On pose F(x)=\ \int_{-\infty}^{x}f(t)dt.
Montrer que pour tout réel x on a F(-x)=1-F(x).3. Montrer que l’intégrale impropre définissant \ \Gamma converge si et seulement si x > 0.
4. Montrer, par récurrence que pour tout entier naturel n, \ \Gamma(n+1)=n! et en déduire la valeur de :
\ \int_{0}^{+\infty} t^n e^{-t}dt, (n un entier naturel)
F(-x)=\ \int_{-\infty}^{-x}\;f(t)dt
RépondreSupprimer=\ \int_{+\infty}^{x}\;-f(-t)dt (changement de variable t par (-t))
= \ \int^{+\infty}_{x}\;f(-t)dt ( f est paire) alors
= \ \int^{+\infty}_{x}\;f(t)dt
=\ \int^{+\infty}_{-\infty}\;f(t)dt - \ \int^{x}_{-\infty}\;f(t)dt (relation de charls)
tu peut alors terminer la suite !
oui après c'est F(-x)=∫f(x) (de -infini a x) +∫f(x) (de x a +infini) =F(x) + ∫ f(x) (de x a +infini) ensuite?
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