Continuité

I- DÉFINITION
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a un réel de I.

On dit que la fonction f est continue en a si pour tout nombre β > 0, il existe un nombre α > 0
tel que si x appartient à I et |x – a| < α, alors |f(x) – f(a)| < β.

II- CONTINUITÉ DE CERTAINES FONCTIONS USUELLES

Toute fonction constante est continue en tout réel a.
La fonction x $\ \to $ x est continue en tout réel a.
Toute fonction linéaire est continue en tout réel a.
Toute fonction affine est continue en tout réel a.
La fonction x $\ \to  x^2$ est continue en tout réel a.
La fonction x $\ \to  \frac{1}{x}$ est continue en tout réel non nul a.
La fonction x $\ \to  \sqrt x$est continue en tout réel strictement positif a.
Toute fonction polynôme est continue en tout réel.
Toute fonction rationnelle est continue en tout réel où elle est définie.

III- THÉORÈMES
(1) Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a un réel de I.

Si f est continue en a, alors |f| est continue en a.

(2) Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I. Soit a un réel de I et k un réel.

Si f et g sont continues en a alors les fonctions f + g, fg et kf sont continues en a.
Si f est continue en a et si f(a) ≠ 0 alors la fonction $\ \frac{1}{f}$ est continue en a.
Si f et g sont continues en a et si g(a) ≠ 0 alors la fonction $\ \frac{f}{g}$ est continue en a.

(3) Soit f une fonction définie et positive sur un intervalle ouvert I et a un réel de I.

Si f est continue en a, alors la fonction $\ \sqrt{f}$ est continue en a.