Nombre parfait

Définition : Un entier naturel non nul n est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs autres
que lui-même.
Exemple : 28 est un nombre parfait car les diviseurs de 28, différents de 28, sont 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 et on a :
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
On définit la fonction $\ \sigma$ sur l’ensemble N des entiers naturels non nuls, qui à n associe la somme de ses diviseurs.
1. Justifier que si n est un entier naturel parfait, alors $\ \sigma$(n) = 2n.
2. Existe-t-il des nombres premiers parfaits ?
3. a) Déterminer tous les nombres parfaits inférieurs ou égaux à 10.
b) Vérifier que l’on peut trouver un entier naturel non nul n tel que :

28 =$\ 2^n(2^{n+1}-1)$
$\ 2^{n+1}-1$ est un nombre premier.

c) Montrer que les autres nombres parfaits trouvés s’écrivent aussi sous la forme $\ 2^n(2^{n+1}-1)$
où n un entier naturel non nul et $\ 2^{n+1}-1$ soit un nombre premier.
4. Nous allons démontrer que pour tout entier naturel non nul n tel que $\ 2^{n+1}-1$ est un nombre
premier, le nombre $\ 2^n(2^{n+1}-1)$ est parfait.
a) Soit n un entier naturel non nul et soit p un nombre premier différent de 2.
Lister les diviseurs de $\ 2^n$p et calculer leur somme en fonction de n et p.
b) Soit n un entier naturel non nul tel que $\ 2^{n+1}-1$  soit un nombre premier.
Exprimer $\ \sigma( 2^n(2^{n+1}-1))$ en fonction de n et en déduire que $\ 2^n(2^{n+1}-1)$ est parfait.
c) Soit n un entier naturel non nul et soit p un nombre premier différent de 2.
Démontrer que si le nombre $\ 2^n$p est parfait, alors p = $\ 2^{n+1}-1$.
d) Donner un nombre parfait différent de ceux déjà cités.
5. Un entier naturel non nul n est dit presque parfait si $\ \sigma$(n) = 2n -1.
a) Déterminer tous les nombres presque parfaits inférieurs ou égaux à 16.
b) Quelle conjecture peut-on faire sur les nombres presque parfaits ?
c) Démontrer que si k est un entier naturel, alors $\ 2^k$ est un nombre presque parfait.

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