1. Soit f la fonction définie sur [0;+$\ \infty$[ par : f(x) = x$\ e^x$ - 1.
a. Déterminer la limite de la fonction f en +$\ \infty$ et étudier le sens de variation de f.
b. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution $\ \alpha$ sur
l’intervalle [0,+$\ \infty$[.
Déterminer une valeur approchée de ! à $\ 10^{-2}$ près.
c. Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
2. On note C la courbe représentative de la fonction exponentielle et C ' celle de la fonction
logarithme népérien dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,$\ \vec {i}$,$\ \vec {j}$).
Les courbes C et C ' sont données en annexe.
Soit x un nombre réel strictement positif. On note M le point de C d’abscisse x et N le point
de C ' d’abscisse x.
On rappelle que pour tout réel x strictement positif, x$\ e^x$ > ln(x).
a. Montrer que la longueur MN est minimale lorsque x = $\ \alpha$. Donner une valeur approchée
de cette longueur minimale à $\ 10^{-2}$ près.
b. En utilisant la question 1., montrer que $\ e ^ \alpha = \frac {1}{\alpha}$.
En déduire que la tangente à C au point d’abscisse $\ \alpha$ et la tangente à C ' au point d’abscisse $\ \alpha$ sont parallèles.
3. Soit h la fonction définie sur ]0,+$\ \infty$[ par h(x) = x ln(x) - x. Montrer que la fonction h
est une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0,+$\ \infty$[.
