Pour tout entier naturel n non nul, on pose
\ K_n=\int_0 ^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)^n} \; dx
1. Montrer que \ K_n est convergente.
2. Montrer que (\ K_n) est une suite décroissante vers 0.
3. Trouver une relation de récurrence portant sur (\ K_n) puis en déduire la valeur de \ K_n.
pour la question 3 :
RépondreSupprimerécrire 1 = (1+\ x^2) -( \ x^2) pour obtenir deux intégrales une parenthèse pour chacun
ou encore écrire \ K_n -k_{n+1} puis intégrer par partie
RépondreSupprimer\ K_n-K_{n+1}=3. \ K_n
RépondreSupprimer= \ \int_0^{+\infty}\;\frac{1}{(1+x^2)^n}\;dx- \int_0^{+\infty}\;\frac{1}{(1+x^2)^{n+1}}\;dx
= \ \int_0^{+\infty}\;\frac{1+x^2-1}{(1+x^2)^{n+1}}\;dx
=\ \int_0^{+\infty}\;\frac{x^2}{(1+x^2)^{n+1}}\;dx
=\ \frac{1}{2}\int_0^{+\infty}\;x\frac{2x}{(1+x^2)^{n+1}}\;dx
On pose U=x ---> U'=1
et \ V'= \frac{2x}{(1+x^2)^{n+1}} ----> V= \ -\frac{1}{n(1+x^2)^n}
tu peut alors terminer la réponse !!!
Merci bcp mais Stp tu peux me l'envoyer par email : sari_mel@hotmail.fr . Je n'arrive pas à comprendre les signe! Merci bcp bcp
RépondreSupprimerquels signes ?
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