Pour tout entier naturel n non nul, on pose
$$\ K_n=\int_0 ^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)^n} \; dx$$
1. Montrer que $\ K_n$ est convergente.
2. Montrer que ($\ K_n$) est une suite décroissante vers 0.
3. Trouver une relation de récurrence portant sur ($\ K_n$) puis en déduire la valeur de $\ K_n$.
pour la question 3 :
RépondreSupprimerécrire 1 = (1+$\ x^2$) -( $\ x^2$) pour obtenir deux intégrales une parenthèse pour chacun
ou encore écrire $\ K_n -k_{n+1}$ puis intégrer par partie
RépondreSupprimer$\ K_n-K_{n+1}=3. $\ K_n
RépondreSupprimer= $\ \int_0^{+\infty}\;\frac{1}{(1+x^2)^n}\;dx- \int_0^{+\infty}\;\frac{1}{(1+x^2)^{n+1}}\;dx$
= $\ \int_0^{+\infty}\;\frac{1+x^2-1}{(1+x^2)^{n+1}}\;dx$
=$\ \int_0^{+\infty}\;\frac{x^2}{(1+x^2)^{n+1}}\;dx$
=$\ \frac{1}{2}\int_0^{+\infty}\;x\frac{2x}{(1+x^2)^{n+1}}\;dx$
On pose U=x ---> U'=1
et $\ V'= \frac{2x}{(1+x^2)^{n+1}}$ ----> V= $\ -\frac{1}{n(1+x^2)^n}$
tu peut alors terminer la réponse !!!
Merci bcp mais Stp tu peux me l'envoyer par email : sari_mel@hotmail.fr . Je n'arrive pas à comprendre les signe! Merci bcp bcp
RépondreSupprimerquels signes ?
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