Généralités sur les fonctions

En mathématiques, une fonction est un concept dont la définition a évolué depuis son introduction par Leibniz à la fin du XVII siècle. D'abord associée à une courbe du plan, la notion est ensuite développée par Jean Bernoulli puis Euler comme résultat de la combinaison d'opérations à partir d'une variable et d'éventuels paramètres constants (réels).

On désigne par f une fonction et par D son domaine de définition.
I- DOMAINE DE DÉFINITION
 Soient p(x) et q(x) deux polynômes et n un entier naturel.
1) f(x)=p(x). Alors

D=IR

2) f(x)=$\ \frac{q(x)}{p(x)}$. Alors

D={x$\ \in IR$; p(x) non nul }

3) f(x)= $\ \sqrt{p(x)}$. Alors

D={x$\ \in IR$; p(x) $\ \geq$ 0 }

4)

Domaine de f = Domaine de f$\ ^n$ = Domaine de |f | = Domaine de (-f )

Exemples

II- SENS DE VARIATION
I un intervalle dans D et a, b deux réels quelconques de I.
f est strictement croissante sur I si :

( a < b  $\ \Rightarrow $  f(a) < f(b) )

f est strictement décroissante sur I si

( a < b  $\ \Rightarrow $  f(a) > f(b) )

f est constante sur I si

( a < b  $\ \Rightarrow $  f(a) = f(b) )

III- PARITÉ D'UNE FONCTION

La fonction f est dite paire sur D  ssi

( $\ \forall x \in D\; \Rightarrow\; -x\in D$ et f(-x) = f(x) )

La fonction f est dite impaire sur D  ssi

( $\ \forall x \in D\; \Rightarrow\; -x\in D$ et f(-x)= -f(x) )

IV- RESTRICTION D'UNE FONCTION
Soit E une partie de D.

La fonction g définie sur E tel que $\ \forall x \in$ E g(x)=f(x), s'appelle une restriction de f sur E

V- MAJORATION - MINORATION
Maximum

S’il existe un réel $\ x_0\; \in$ D tel que pour tout x de D, f(x) ≤ f($\ x_0$), on dit que la fonction f admet sur D un maximum en $\ x_0$ ou encore que f($\ x_0$) est un maximum de f sur D.

Minimum

S’il existe un réel $\ x_0\; \in$ D tel que pour tout x de D, f($\ x_0$) ≤ f(x), on dit que la fonction f admet sur D un minimum en $\ x_0$ ou encore que f($\ x_0$) est un minimum de f

Définition

Soit f une fonction définie sur un ensemble D.
• La fonction f est dite majorée sur D s’il existe un réel M tel que pour tout x de D, f(x) ≤ M.
• La fonction f est dite minorée sur D s’il existe un réel m tel que pour tout x de D, m ≤ f(x).
• La fonction f est dite bornée sur D s’il existe deux réels m et M tels que pour tout x de D,
m ≤ f(x)≤ M.

VI- FONCTION AFFINE PAR INTERVALLE
 Définition

On appelle fonction affine par intervalles toute fonction définie sur une réunion d’intervalles
et telle que sa restriction à chacun de ces intervalles soit affine.

Fonction partie entière
Définition

• On appelle partie entière d’un réel x et on note E(x), le plus grand entier inférieur ou égal à x.
• On appelle fonction partie entière la fonction qui à tout réel associe sa partie entière.

Soit E la fonction partie entière.
Pour tout réel x, il existe un entier n tel que x appartient à [n, n +1[. On a alors E(x) = n.

VII- FONCTIONS $\ \sqrt{f(x)}$
Théorème
Soit f une fonction définie et positive sur un intervalle I.

• Si f est croissante sur I alors $\ \sqrt{f(x)}$ est croissante sur I.
• Si f est décroissante sur I alors $\ \sqrt{f(x)}$ est décroissante sur I.
• Si f est majorée sur I alors $\ \sqrt{f(x)}$ est majorée sur I.

VIII- OPÉRATION SUR LES FONCTIONS
Soit D une partie de IR. Nous pouvons munir l’ensemble des fonctions définies sur D et à valeurs dans IR d’une addition, d’une multiplication et de la multiplication par un réel de la manière suivante :

• La fonction f + g est la fonction définie sur D par (f + g)(x) = f(x) + g(x).
• La fonction f g est la fonction définie sur D par (fg)(x) = f(x).g(x).
• Pour tout réel λ, la fonction λf est la fonction définie sur D par (λf)(x) = λ.f(x).

Soit f et g deux fonctions définies sur un ensemble D telles que g(x) ≠ 0 pour tout x ∈ D.

La fonction x$\ \to \frac{1}{g(x)}$ est notée $\ \frac{1}{g}$ .
La fonction x$\ \to \frac{f(x)}{g(x)}$ est notée $\ \frac{f}{g}$ .