Soit f la fonction définie sur [0; 1] par f(x) = x$\ e^x$.
On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal (O;$\ \vec {i}, \vec {j}$).
Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0; 1].
Sur la courbe C , tracée ci-dessous, on a placé les points A et B d’abscisses respectives a et 1. On a
tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et
[AB] et la courbe C. On a placé les points A'(a; 0) et B'(1; 0).
Le but de l’exercice est de déterminer la valeur du nombre réel a pour laquelle l’aire de la partie du
plan hachurée en annexe est minimale.
PARTIE A :
1. Montrer que $\ \int^ 1 _0 xe^x dx = 1$.
2. a) Donner l’aire du triangle OAA' et montrer que l’aire du trapèze ABB'A' est égale à : $$\ \frac {1}{2}(-a^2e^a + ae^a- ae + e)$$
b) En déduire que l’aire de la partie du plan hachurée est $\ \frac {1}{2}(ae^a- ae + e - 2)$.
PARTIE B :
Soit g la fonction définie sur [0,+$\ \infty$[ par : $\ g(x) = x(e^x- e) + e - 2$.
1. Calculer g '(x) pour tout réel x de [0;+$\ \infty$[.
Vérifier que pour tout reel x de [0;+$\ \infty$[ on a : g "(x) = (2+x)$\ e^x$.
2. En déduire les variations de la fonction g ' sur [0;+$\ \infty$[.
3. Établir que l’équation g'(x) = 0 admet une solution unique $\ \alpha$ dans l’intervalle [0;+$\ \infty$[.
Déterminer une valeur approchée de $\ \alpha$ à $\ 10^{-1}$ près.
4. En déduire les variations de la fonction g sur [0;+$\ \infty$[.
5. En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu’il existe une valeur de a
pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de a.
