Division Euclidienne :
Etant donne deux entiers naturels a et b (a > b).
L’écriture :
a = q .b + r (0 $\ \leq $ r < b)
s'appelle la division euclidienne de a par b
q : quotient
r : reste
Théorème de divisibilité :
* b divise a (note b|a ) $\ \Longleftrightarrow $ r = 0* Si c|a et c|b alors c|(a-b)
Plus grand commun diviseur :
On appelle d le plus grand commun diviseur de a et b si :
(1) d|a et d|b(2) Pour tout entier d' tel que d'|a et d'|b on a : d' $\ \leq $ d
Remarque : on note d=PGCD(a,b) ou d=a^b
Plus petit commun multiple :
On appelle m le plus petit commun multiple de a et b si :
(1) a|m et b|m(2) Pour tout entier m' tel que a|m' et b|m' on a : m $\ \leq $ m'
Remarque : on note m = PPCM(a,b)
Théorème :
m.d = a.b
Nombres premiers entre eux :
a et b sont premiers entre eux si d =1
Divisibilités :
Un entier est divisible :
- Par 2 si son chiffre d’unité est divisible par 2
- Par 4 si le nombre formé par son chiffre de dizaine et son chiffre d’unité est divisible par 4
- Par 8 si le nombre formé par son chiffre de centaine, son chiffre de dizaine et son chiffre d’unité est divisible par 8.
- Par 3 (respectivement par 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (respectivement par 9)
- Par 11 si la différence entre de la somme de ses chiffres d'ordre impair et la somme de ses chiffres d'ordre pair est divisible par 11.
exemple -> le nombre 171908 est divisible par 11 car ( 8+9+7 ) - ( 0+1+1 ) = 22 divisible par 11
Obtention des diviseurs d’un nombre entier naturel
Diviseurs d'un entier :
La décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel permet d’obtenir tous ses diviseurs de manière
systématique.
Exemple : 72 =$\ 2^3.3^2$
On peut s’aider d’un arbre pour lister ces diviseurs :
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