Soit F une fonction définie sur I=]$\ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$[\{0} par :
F(x)=$\ \int_1^{tan^2(x)}\frac{dt}{\sqrt t (t+1)}$
1)a) Justifier l'existence de F sur I
b) Montrer que F est une fonction paire.
c) Calculer F($\ \frac{\pi}{4}$).
2)a) Montrer que F est dérivable sur ]0,$\ \frac{\pi}{2}$[ et calculer F '(x).
b) Déduire que pour tout x de l'intervalle ]0,$\ \frac{\pi}{2}$[, F(x)=2x-$\ \frac{\pi}{2}$
c) Expliciter F(x) pour x dans l'intervalle ]-$\ \frac{\pi}{2}$,0[
3) a) Calculer alors J=$\ \int_1^3\frac{dt}{\sqrt t (t+1)}$
b) A l'aide d'une intégration par parties, calculer $\ \int_1^3\frac{\sqrt t\;dt}{ (t+1)^2}$
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