Le premier nombre parfait est 6. En effet 1, 2 et 3 sont les diviseurs propres de 6 et 1+2+3=6.
28 est également un nombre parfait : 1+2+4+7+14=28.
Les nombres parfaits sont rares, il n’en existe que trois inférieurs à 1000 qui sont 6, 28 et 496.
Ensuite vient 8128, puis 33 550 336,
8 589 869 056,
137 438 691 328,
2 305 843 008 139 952 128 (découvert par Leonhard Euler),
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176, …
Actuellement, 40 nombres parfaits sont connus. Le plus grands possède 12 640 858 chiffres et est égal à :
220 996 010(220 996 011-1).
Comme pour le plus grand nombre premier, c’est le projet GIMPS qui détient le record.
Dans le IXème livre des Eléments, Euclide d’Alexandrie (-320? ; -260?) expose une façon de générer des nombres parfaits :
"Lorsque la somme d’une suite de nombres doubles les uns des autres est un nombre premier, il suffit de multiplier ce nombre par le dernier terme de cette somme pour obtenir un nombre parfait."
1+2=3 qui est premier donc 2x3=6 est parfait.
1+2+4=7 qui est premier donc 4x7=28 est parfait.
1+2+4+8=15 n’est pas premier.
1+2+4+8+16=31 est premier donc 16x31=496 est parfait.
En découle une formule qui porte aujourd’hui le nom de Formule d’Euclide :
2p-1(2p - 1) est parfait si p et (2p - 1) sont premiers.
Nous retrouvons la formulation donnée plus haut du 40ème nombre parfait.
Jadis les nombres parfaits étaient considérés comme supérieurs à tous les autres. On voyait en eux un rôle mystique. Citons Saint Augustin dans "La cité de Dieu" (420 après J.C.) : "Six est un nombre parfait en lui même, non parce que Dieu a créé toutes choses en six jours, mais Dieu a créé toutes choses en six jours parce que ce nombre est parfait."
Les conjectures en rapport avec les nombres parfaits sont nombreuses :
En mathématiques, on appelle conjecture, une règle qui n'a jamais été prouvée. On l’a vérifiée sur beaucoup d'exemples mais on n'est pas sûr qu'elle soit toujours vraie.
-Les nombres parfaits d’Euclide sont tous pairs puisque l’un des facteurs est une puissance de 2. Mais rien ne prouve pour l’instant qu’il n’existe pas de nombres parfaits impairs.
-Par ailleurs, il est aisé de constater que tous les nombres parfaits cités plus haut se terminent par 6 ou 28.
-Un autre problème qui reste ouvert est la preuve de l’infinitude des nombres parfaits.
