Intégration par partie et convergente d'une suite

On considère la suite ($\ I_n$) définie pour n entier naturel non nul par :

$\ I_n=\int_0^1 x^n e^{x^2}dx$

1.a) Soit g la fonction définie par g(x)=x$\ e^{x^2}$.
Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x)=$\ \frac{1}{2}e^{x^2}$ est une primitive sur R de
la fonction g.
b) En déduire la valeur de $\ I_1$.
c) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, on a : $\ I_{n+2}=\frac{e-(n+1)I_n}{2}$
d) Calculer $\ I_3$ et $\ I_5$
2. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, $\ I_n \geq 0$.
b) Montrer que la suite ($\ I_n$) est décroissante.
c) En déduire que la suite ($\ I_n$) est convergente. Calculer sa limite.