On donne :
avec $\ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = 2 \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}$
1. Etudier les variations de la fonction f définie ainsi, puis tracer son graphique.
f(x)=$\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$.2. On pose F(x)=$\ \int_{-\infty}^{x}f(t)dt$.
Montrer que pour tout réel x on a F(-x)=1-F(x).3. Montrer que l’intégrale impropre définissant $\ \Gamma$ converge si et seulement si x > 0.
4. Montrer, par récurrence que pour tout entier naturel n, $\ \Gamma$(n+1)=n! et en déduire la valeur de :
$\ \int_{0}^{+\infty} t^n e^{-t}dt$, (n un entier naturel)
F(-x)=$\ \int_{-\infty}^{-x}\;f(t)dt$
RépondreSupprimer=$\ \int_{+\infty}^{x}\;-f(-t)dt$ (changement de variable t par (-t))
= $\ \int^{+\infty}_{x}\;f(-t)dt$ ( f est paire) alors
= $\ \int^{+\infty}_{x}\;f(t)dt$
=$\ \int^{+\infty}_{-\infty}\;f(t)dt$ - $\ \int^{x}_{-\infty}\;f(t)dt$ (relation de charls)
tu peut alors terminer la suite !
oui après c'est F(-x)=∫f(x) (de -infini a x) +∫f(x) (de x a +infini) =F(x) + ∫ f(x) (de x a +infini) ensuite?
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