Soit $\ \phi $ la fonction définie sur I=]$\ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$[ par :
$\ \phi(x)=\int_0^{1+tan(x)}g(t)\;dt$ avec g(t)=$\ \frac{1}{t^2-2t+2}$.
1)a) Montrer que $\ \phi$ est dérivable sur I puis calculer $\ \phi $'(x).
b) $\ \phi(\frac{-\pi}{4})$ puis déduire l'expression de $\ \phi$(x).
c) Calculer $\ J=\int_0^{2}\frac{1}{t^2-2t+2}\;dt$
2) Soit f la fonction définie sur IR par : f(t)=$\ \frac{1}{1+(t-1)^2}$.
a) Montrer que f possède une unique primitive F sur qui s'annule en 0.
b) Vérifier que pour tout réel t, on a : $\ \frac{2-t}{1+(t-1)^2}=f(2-t)$.
c) Déduire que : $\ \int_0^{2}\frac{2-t}{1+(t-1)^2}\;dt=F(2)$
et que $\ \int_0^{2}\frac{t}{1+(t-1)^2}\;dt=\frac{\pi}{2}$
3) On donne dans la figure ci-dessous les courbes (C1) et (C2) respectives de f et -g.
Calculer en unité d'aire, l'aire de la partie du plan colorée.
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