Suite réelle définie par intégrale

On pose pour tout entier naturel n, $\ I_n=\int_0^1\frac{x^{2n+1}}{\sqrt{x^2+1}}dx$
1) Calculer $\ I_0$
2) a) Montrer que pour tout entier naturel n on a :  $\ 0 \leq \;I_n\; \leq \; \frac{1}{2n+1}$
 b) Montrer que la suite ($\ I_n$) est décroissante .
c) En déduire que la suite ($\ I_n$) est convergente et déterminer sa limite.
3)a)  A l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
$\ I_{n+1}=\sqrt2-(2n+2)\int_0^1 x^{2n+1}\sqrt{x^2+1}dx$.
b) En déduire que pour tout entier naturel n on a : (2n+3)$\ I_{n+1}$=$\ \sqrt2 $ - (2n+2)$\ I_n$
c) Calculer $\ I_1$.
4) Soient f et g les fonctions définies sur IR par :
f(x)=$\ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ et g(x)=$\ \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}$.
 On a représenté ci-dessous leurs courbes dans un repère orthonormé d'unité 2 cm.

Calculer en $\ cm^2$ l'aire de la partie hachurée.