Variable aléatoire

Une association organise une loterie pour laquelle une participation m exprimée en dinars est demandée.
Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne contenant 2 boules vertes et 3 boules jaunes.
Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu.
Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m.
Si le joueur obtient 2 boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit :
• sur $\ \frac{1}{8}$ de la roue le gain est de 100 euros,
• sur $\ \frac{1}{4}$ de la roue le gain est de 20 euros,
• sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m.
On appelle V : l’événement « le joueur a obtenu 2 boules vertes ».
J : l’événement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes ».
R : l’événement « le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien ».
$\ G_{100}$ : l’événement « le joueur a gagné 100 euros »
$\ G_{20}$ : l’événement « le joueur a gagné 20 euros »
1) a)Calculer les probabilités p(V) et p(J)
b) Représenter un arbre des probabilités qui modélise la situation, en précisant la probabilité associée à chaque branche
c) Montrer que p(R)=$\ \frac{29}{80}$
2) On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’est-à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale m.
a) Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X.
b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X
c) Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire X est :
E(X)=$\ \frac{140-51m}{80}$.
d) L’organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière en dinars. Quelle valeur minimale faut-il donner à m pour que l’organisateur puisse espérer ne pas perdre d’argent ?
3) On voudrait qu’un joueur ait plus d’une chance sur deux d’être remboursé de sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois. On note G cet événement. Pour cela on garde deux boules vertes dans l’urne mais on modifie le nombre de boules jaunes. On appelle n le nombre de boules jaunes, on suppose n$\ \geq$1.
Calculer la valeur minimale de n pour que la condition précédente soit vérifiée.