Problème d'ensemble et construction

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,$\ \vec i,\vec j$). A tout point M d'affixe z du plan, on associe le point M' d’affixe z' par l’application f qui admet pour écriture complexe :

z'=$\ \frac{(3+4i)z+5\bar z}{6}$

1) On considère les points A, B, C d’affixes respectives  1 + 2i, 1 et 3i.

Déterminer les affixes des points A', B′ et C' images respectives de A, B, C par f.

Placer les points A, B, C, A′, B′, C′.

2) On pose z = x + iy (avec x et y réels).

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z′ en fonction de x et y.

3) Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation y =$\ \frac{1}{2}$x

Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?

4) Soit M un point quelconque du plan et M′ son image par f. Montrer que M' appartient à la droite (D).

5) a) Montrer que pour tout nombre complexe z :

$\ \frac{z'-z}{z_A}$=$\ \frac{z+\bar z}{6}$+i$\ \frac{z-\bar z}{3}$

En déduire que le nombre $\ \frac{z'-z}{z_A}$ est un réel.

b) En déduire que, si M′ distinct de M, les droites (OA) et (MM') sont parallèles.

6) Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N' ?

(on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)).

Effectuer la construction sur la figure.

′