1) Calculer $\ u_0$
2) Montrer que $\ u_{n+1}=253\;4^{4n+2}+3 u_n$
3) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, $\ u_n$ est divisible par 11.
Réponse
1)
$\ u_0=4^{2}-3^3 = -11$
2)
On a :
$\ u_{n+1}=4^{4(n+1)+2}-3^{(n+1)+3}$
= $\ 4^{4n+2+4}-3^{n+3 +1}$
= $\ 4^{4n+2}4^4-3\;3^{n+3}$
= $\ 256\; 4^{4n+2}-3\;3^{n+3}$
= $\ 253\; 4^{4n+2}+3\; 4^{4n+2}-3\;3^{n+3}$
=$\ 253\; 4^{4n+2}+3\; (4^{4n+2}-3^{n+3})$
=$\ 253\;4^{4n+2}+3 u_n$
5)
Par recurrence sur n,
* 11|$\ u_0$
* On suppose que 11|$\ u_n$
Comme 11|253 et 11|$\ u_n$ alors $\ 253\;4^{4n+2}+3 u_n$
donc 11|$\ u_{n+1}$
Conclusion :
pour tout entier naturel n, $\ u_n$ est divisible par 11
$\ u_0=4^{2}-3^3 = -11$
2)
On a :
$\ u_{n+1}=4^{4(n+1)+2}-3^{(n+1)+3}$
= $\ 4^{4n+2+4}-3^{n+3 +1}$
= $\ 4^{4n+2}4^4-3\;3^{n+3}$
= $\ 256\; 4^{4n+2}-3\;3^{n+3}$
= $\ 253\; 4^{4n+2}+3\; 4^{4n+2}-3\;3^{n+3}$
=$\ 253\; 4^{4n+2}+3\; (4^{4n+2}-3^{n+3})$
=$\ 253\;4^{4n+2}+3 u_n$
5)
Par recurrence sur n,
* 11|$\ u_0$
* On suppose que 11|$\ u_n$
Comme 11|253 et 11|$\ u_n$ alors $\ 253\;4^{4n+2}+3 u_n$
donc 11|$\ u_{n+1}$
Conclusion :
pour tout entier naturel n, $\ u_n$ est divisible par 11
0 commentaires:
Enregistrer un commentaire