Similitude définie dans le plan complexe

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormé direct (O,$\ \vec u,\vec v$) on donne les points A, B et C d'affixes respectives  i , $\ \sqrt2$  et $\ \sqrt2$+i.
On appelle  I, J et K les milieux respectifs des segments  [OB], [AC] et [BC] et   S la similitude directe qui transforme A en I et O en B .
 1) a)  Déterminer le rapport et l'angle de S.

     b)  Donner l'écriture complexe de S

     c)  En déduire l'affixe $\ \omega$ du centre $\ \Omega$ de S .  Représenter $\ \Omega$ dans le plan P.
     d) Quelle est l'image par S du rectangle AOBC ?
2 ) On considère la transformation  $\ S^2$= S o S
a) Quelles sont les images des points O, B et A par  $\ S^2$ ?
b) Montrer que $\ S^2$ est une homothétie dont on précisera  le centre et le rapport .
c) En déduire que les droites (OC), (BJ) et (AK) sont concourantes .
3) On définit la suite de points $\ A_n$ de la façon suivante :
$\ A_0$=A et pour tout entier naturel n ,  $\ A_{n+1}$= S($\ A_n$)
a) Préciser les points  $\ A_1$, $\ A_2$ et $\ A_3$ sur la figure de  1) c)
b) On note $\ U_n$ la longueur du segment [$\ A_{n+1}A_n$].
Exprimer $U_n$ en fonction de $\ U_{n-1}$
Calculer $\ U_0$ et en déduire $\ U_n$ en fonction de n.