Fonction logarithme et integration

La figure ci-dessous ,montre la courbe représentative (Cg) ,dans un repère orthonormé ,de la fonction g définie sur l’intervalle ]0,+$\ \infty$[ par g (x)= $\ (1-  ln(x) )^2$. La courbe Cg admet une branche parabolique de direction (Ox).Cg coupe (Ox) au point d’abscisse e.
1) Par lecture graphique

a) Dresser le tableau de variation de g 

b) Déterminer $\ \lim_{x \to +\infty}\frac{g(x)}{x}$

2) Soit h la restriction de g sur [e,+$\ \infty$[

Montrer que h réalise une bijection de [e,+$\ \infty$[ sur [0,+$\ \infty$[

3) Montrer que pour tout reel x de [0,+$\ \infty$[ on a : $\ g^{-1}(x)=e^{1+\sqrt x}$

4) Pour tout entier naturel n non nul on pose $\ I_n=\int_0^e\;(1-ln(t))^n\; dt$

     a)Calculer $\ I_1$  

     b) En utilisant une intégration par partie montrer que pour tout n de N* on a  $\ I_{n+1}=-1+(n+1)I_n$

    c) On désigne par A et B les points de Cg d’abscisses respectifs 1 et e .Soit V le volume du solide de

révolution engendré par la rotation de l’arc AB de la courbe (Cg) autour de l’axe des abscisses .Calculer V