Continuité, dérivabilité et fonction réciproque

.Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O,$\ \vec i$, $\ \vec j$)

A) Soit g la  la fonction définie sur ]0,+$\ \infty$[  par : g(x) = x+ 1+ ln( x)
1) Etudier les variations de g.
2) Montrer que l’équation g(x) = 0  admet dans ]0,+$\ \infty$[ une seule solution $\ \alpha $ et que :
0,27 < $\ \alpha $ < 0,28.
3) En déduire le signe de g(x).
B) Soit la fonction f définie sur [0,+$\ \infty$[ par :
$\ \begin {cases} \frac{xln(x)}{x+1}\;\; si \;\;x > 0 \\  f(0)=0 \end {cases}$
1)  Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 ; interpréter graphiquement le résultat.

2) Montrer que f est dérivable sur ]0,+$\ \infty$[ et que f '(x)= $\ \frac{g(x)}{(x+1)^2}$.

3) Dresser le tableau de variation de f .

4) a) Vérifier que : f($\ \alpha $)= -$\ \alpha $.
b) Déterminer les points d’intersections de Cf et l’axe (O,$\ \vec i$)

Tracer Cf et préciser la demi- tangente au point d’abscisse nulle. ( unité graphique :4 cm ; ) 

Montrer que f est bijective de [$\ \alpha $,+$\ \infty$[ sur un intervalle J que l’on précisera.

5) Soit $\ f^{-1}$ la fonction réciproque de f.

a) Vérifier que $\ f^{-1}$(0)=1 et $\ (f^{-1})'$(0)=2.

b) Ecrire une équation de la tangente T à $\ C_{f^{-1}}$ au point d’abscisse nulle.

c) Tracer $\ C_{f^{-1}}$ et T dans le même repère (O,$\ \vec i$, $\ \vec j$)

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