Problème de centre

Dans le plan orienté, on considère le triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que :
$\ (\widehat{ \vec{AB} , \vec{AC}})\equiv \frac\pi 2 [2\pi]$
On désigne par I et J  les milieux respectifs des segments [AC] et [BC]
(Voir la figure ci-dessous : à compléter le long de cet exercice)
1) Soit f la similitude directe qui envoie A en C et C en B
a) Préciser le rapport et l’angle de f
b) Soit $\ \Omega$ le centre de f. Montrer que : $\ \vec{\Omega A}.\vec{\Omega C}=-\Omega A^2$
et déduire que : $\ \vec{\Omega A} \perp \vec{\Omega I}$
c) Déterminer  fof(A) et déduire que $\ \Omega$ est le projeté orthogonal de A sur (BI)
2) Soit g la similitude directe de centre B qui envoie A en C
a) Préciser le rapport et l’angle de g
b) Caractériser alors go$\ f^{-1}$
3) On pose $\ \sigma$=fo$\ S_{(BC)}$ et D=R(A)
a) Déterminer $\ \sigma$(D)  et  $\ \sigma$(C)
b) Déterminer la nature et le rapport de $\ \sigma$
c) On note $\ \Omega$' le centre de $\ \sigma$. Déterminer $\ \sigma$o$\ \sigma$(D) et déduire la construction de $\ \Omega$'
4)On suppose que (A, $\ \vec{AB}$,$\ \vec{AC}$) est un repère orthonormé direct
a) Déterminer la transformation complexe de f
b) En déduire que A,  $\ \Omega$ et $\ \Omega$' sont alignés.