Divisibilité par 9 et suite

On considère la suite  $\ u_n=7^{3n}-1$, n un entier naturel.
1) Calculer les termes $\ u_0$, $\ u_1$ et $\ u_2$
2) La suite ($\ u_n$) est elle arithmétique ? est elle géométrique ?
3) Vérifier que $\ u_1$ et $\ u_2$ sont divisible par 9.
4) Montrer que $\ u_{n+1}$ = $\ u_1\;7^{3n}+u_n$
5) Montrer que si $\ u_n$ est divisible par 9 alors $\ u_{n+1}$ est divisible par 9
Réponse

1)
$\ u_0=7^{0}-1 = 0$
$\ u_1=7^{3}-1 = 342$
et $\ u_2=7^{6}-1=117648$
2) Il suffit de voir que :
$\ u_0$ + $\ u_2$ différent de 2* $\ u_1$   (n'est pas arithmétique)
$\ u_0$ * $\ u_2$ différent de  $\ u_1^2$   ( n'est pas géométrique)
3)
3+4+2=9 alors 9|342
1+1+7+6+4+8=27 donc 9|117648
4)
On a :
$\ u_{n+1}=7^{3(n+1)}-1$
                 = $\ 7^{3n+3}-1$
                 = $\ 7^3\;7^{3n}-1$
                 = $\ 7^3\; 7^{3n}-7^{3n} + 7^{3n}-1$
                 = $\ 7^{3n}(7^{3}-1) + 7^{3n}-1$
                 =$\ u_1 7^{3n} + u_n$
5)
Comme 9|$\ u_1$ et 9|$\ u_n$ alors 9|$\ u_{n+1}$