On désigne ($\ C_g$) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,$\ \vec i,\vec j$)
1) a) Montrer g réalise une bijection de [0,1[ sur un intervalle J que l’on précisera
b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que :
$\ \int_0^{\frac{\sqrt 2}{2}}g(x)dx$=$\ -\frac12+ \int_0^{\frac{\sqrt 2}{2}}\sqrt{1-x^2}dx$
2) Soit G(x)=$\ \int_0^{sin(x)}\sqrt{1-t^2}dt$ ; x$\ \in$ [0,$\ \frac{\pi}{4}$]
a) Montrer que G est dérivable sur [0,$\ \frac{\pi}{4}$] et calculer G'(x).
b) En déduire que G(x)=$\ \frac12+\frac14$ sin(2x) pour tout x$\ \in$ [0,$\ \frac{\pi}{4}$].
c) Calculer alors $\ \int_0^{\frac{\sqrt 2}{2}}\sqrt{1-x^2}dx$ puis $\ \int_0^{\frac{\sqrt 2}{2}}g(x)dx$.
3) Sur la figure ci-dessous on a représenté dans le repère orthonormé (O,$\ \vec i,\vec j$) la courbe ($\ C_f$) de la fonction f définie sur [0,+$\ \infty $[ par f(x)=$\ \sqrt{\frac{2x}{x+\sqrt{x^2+4}}}$.
La courbe ($\ C_f$) admet une demi –tangente verticale au point d’abscisse 0.
La droite d’équation (y=1) est une asymptote horizontale pour la courbe ($\ C_f$) au voisinage de ($\ +\infty$).
a) Montrer que f(x)=$\ g^{-1}$(x) pour tout x $\ \in$[0,+$\ \infty $[.
b) Construire ($\ C_g$) dans le même repère orthonormé (O,$\ \vec i,\vec j$)
c) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par ($\ C_g$), ($\ C_f$) et les droites d’équations respectives
(x=1) et x=$\ \frac{\sqrt2}{2}$.
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