la courbe de f définie sur [0,$\ \frac{\pi}{2}$] par :
f(x)=$\ \frac{1}{\sqrt{2+cos(x)}}$ , .
On note V le volume de (S) en unités de volumes.
1) Pour tout x ∈]−$\ \pi,\pi$ [, on pose :
F(x)=$\ \int_0^x \frac{dt}{2+cos(t)}$ et G(x)=$\ \int_0^{tg(\frac{x}{2})} \frac{2dt}{3+t^2}$.
a) Montrer que : V= $\ \pi$F($\ \frac{\pi}{2}$).
b) Montrer que G est dérivable sur ]−$\ \pi,\pi$ [ et calculer G’(x).
c) En déduire que pour tout x ∈]−$\ \pi,\pi$ [, F(x)= G(x).
2) Soit H(x)= $\ \int_0^x \frac{dt}{1+t^2}$, x est un réel.
a) Montrer que pour tout x ∈]−$\ \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$[, H(tan(x))=x
b) Montrer que pour tout x ∈]−$\ \pi,\pi$ [,
G(x)=$\ \frac{2}{\sqrt 3}$H($\ \frac{1}{\sqrt 3}tan(\frac{x}{2})$)
G(x)=$\ \frac{2}{\sqrt 3}$H($\ \frac{1}{\sqrt 3}tan(\frac{x}{2})$)
c) En déduire la valeur de V.
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