Construction et propriétés

Soit ABI un triangle rectangle et isocèle en I et soit O le milieu de [AB] et (C) le cercle de centre O circonscrit au triangle ABI. Soit h l’homothétie de centre I et de rapport -2.

1) a) Construire les points A' et B' image respectifs de A et B par h.
 
b) Montrer que le triangle A'B'I est isocèle et rectangle en I.
2) La droite (IO) coupe (A'B') en O'.
 
a) Montrer que O' est le milieu de [A’B’].
     b) Caractériser et construire le cercle (C') image du cercle (C) par h.
3) La droite (OI) recoupe le cercle (C) en E. La droite passant par B’ et parallèle à (BE) coupe (OI) en E'.

a) Déterminer h((OI)) et h((EB)).
   b) En déduire que h(E) =E' et que E' appartient au cercle (C').