Fonction ln et fonction définie par integral

I) Soit f la fonction définie par f(x)=$\ \frac{x\;ln(x)}{x+1}$ si x > 0 et f(0)= 0.
1) a) Montrer que f est continue en 0.
b) Etudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter graphiquement le résultat.
2) Soit g la fonction définie sur ]0, +∞[ par g(x) = x + 1 + ln(x).
a) Etudier les variations de g sur ]0, +∞[.
b) Montrer qu’il existe un unique réel $\ \alpha$ > 0 tel que g($\ \alpha$)= 0 et que 0,27 < $\ \alpha$ < 0,28.
c) En déduire le signe de g(x) sur ]0, +∞[.
3) a) Montrer que f est dérivable sur ]0, +∞[ et que f'(x)= $\ \frac{g(x)}{(x+1)^2}$
b) Dresser le tableau de variation de f.
4) Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé du plan
a) Ecrire une équation de la tangente T à (C) au point d’abscisse 1.
b) Tracer T et (C) en précisant les branches infinies de (C).
II) Soit la fonction F définie sur [0, +∞[ par F(x)=$\ \int_1^{2x}f(t)dt$
1) Montrer que F est dérivable sur [0, +∞[ et calculer F'(x).
2) Soit x ≥ 0
a) Montrer que pour tout réel t de l'intervalle [1,x] on a : $\ \frac{1}{2}$ln(t) ≤ f(t)≤ t ln(t).
b) Calculer les intégrales I(x)=$\ \int_1^{2x}ln(t)dt$ et J(x)=$\ \int_1^{2x}t \;ln(t)dt$
c) En déduire que :
x ln(2x) − x + $\ \frac{1}{2}$ ≤ F(x)≤ $2x^2\;ln(2x)-x^2+\frac{1}{4}$
d) Déterminer alors :
$\ \lim_{x \to +\infty}$ F(x) et $\ \lim_{x \to +\infty} \frac{F(x)}{x}$ .
3) On donne F(0)≈ 0,2. Dresser le tableau de variation de F et tracer sa
courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

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