Problème de révision

Soit la fonction f définie sur ]0,+∞[ par  f(x)=x+x$\ ln^2$(x) et f(0)=0.
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé  (unité : 4cm).
1)a) Montrer que f est continue à droite en 0.
   b) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0. Interpréter graphiquement le    résultat obtenue.
   c) Montrer que f est dérivable sur ]0, +∞[ et que  f '(x)=$\ (1+ln(x))^2$.
   d) Dresser le tableau de variations de f.
2)a) Ecrire une équation de la tangente T à (C) au point d’abscisse 1 .
   b) Etudier la position relative de (C) et T.
 c) construire (C) et T.
3) Soit la suite   $\ I_n=\int_1^exln^n(x)\;\;dx$  ,  n un entier naturel.
   a) Calculer I1.

b) Montrer que pour tout n≥1 on a :  .$\ I_{n+1}=\frac{e^2-(n+1)I_n}{2}$

4) Soit A l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d’équations x=1, x=e et y=0. Calculer A en $\ cm^2$.