Logarithme et suite

Soit f la fonction définie sur [1,  +∞ [, par :f (x ) = x$\ \sqrt{ lnx}$ . On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j) du plan.
1) Montrer que f est continue sur [1, +∞ [
2) a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1. Interpréter géométriquement le résultat trouvé
   b) Dresser le tableau de variation de f.
3) a) Soit ∆ la droite d’équation y = x.  Déterminer  ∆ ∩ (C) .
    b) Tracer (C) et ∆ .
 4) a) Montrer que f admet une fonction réciproque g définie sur [ 0, +∞[ .
     b) Tracer la courbe (C’) de g dans le repère  (O, i, j) .
5) On considère la suite (u) définie par :
$\ u_0=0$ et pour tout entier naturel n, $\ u_{n+1}=g(u_n)$
 a) Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ  , on a :  0 ≤$\ u_n$ ≤ e .
   b) Montrer que la suite (u) est décroissante.  
   c) En déduire (u) est convergente et trouver sa limite