On considère les nombres de Mersenne de la forme Mp = $\ 2^p$-1 avec p un nombre premier.
1) Vérifier que $\ M_2$, $\ M_3$, $\ M_5$ et $\ M_7$ sont premiers.
2) On étudie les nombres Mn=$\ 2^n$-1 (n entier naturel non premier). On suppose d un diviseur de n avec d>1 et différent de n
a) soit x entier >1. Exprimer en fonction de x et n la somme 1+x+$\ x^2$+....+$\ x^{n-1}$
En déduire que $\ x^n$-1 est divisible par x-1
b) Montrer alors que Mn est divisible par $\ 2^d$-1. En déduire que Mn n'est pas premier
3) En déduire une condition nécessaire pour que Mn soit premier
4) Cette condition est-elle suffisante ? (on pourra étudier le cas de $\ M_{11}$)
Nombres de Mersenne
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