f (x) = x $\ e^{−x}$ .
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
Partie A
1. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0; +∞[.
Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, calculer f ′(x). En déduire les variations
de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
2. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.Quelle interprétation graphique
peut-on faire de ce résultat ?
Partie B
Soit A la fonction définie sur l’intervalle [0; +∞[ de la façon suivante : pour tout réel
t de l’intervalle [0 ; +∞[ , A(t ) est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par
l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations x = 0 et x = t .
1. Déterminer le sens de variation de la fonction A.
2. On admet que l’aire du domaine délimité par la courbe C et l’axe des abscisses est égale à 1 unité d’aire. Que peut-on en déduire pour la fonction A ?
3. On cherche à prouver l’existence d’un nombre réel $\ \alpha$ tel que la droite d’équation x = $\ \alpha$ partage le domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe C , en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.
a) Démontrer que l’équation A(t ) =$\ \frac{1}{2}$ admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; +∞[
b) Sur le graphique fourni en annexe (à rendre avec la copie) sont tracées la courbe C , ainsi que la courbe $\ \Gamma$ représentant la fonction A.
Sur le graphique de l’annexe, identifier les courbes C et ¡, puis tracer la droite d’équation y =$\ \frac{1}{2}$. En déduire une valeur approchée du réel $\ \alpha$.
Hachurer le domaine correspondant à A($\ \alpha$).
4. On définit la fonction g sur l’intervalle [0; +∞[ par g (x) = (x +1)$\ e^{−x}$ .
a) On note g ′ la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle [0; +∞[.
Pour tout réel x de l’intervalle [0; +∞[, calculer g ′(x).
b) En déduire, pour tout réel t de l’intervalle [0; +∞[, une expression de A(t ).
c) Calculer une valeur approchée à $\ 10^{−2} près de A(6).
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